Question

【题目】已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范围；
（2）设g（x）=f（x）﹣f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=﹣1，则f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex，

∴f′（x）=[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex，

由题意函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）≤0

当a＞0时，因为二次函数y=ax2+（a﹣1）x﹣a图象开口向上，而f′（0）=﹣a＜0，所以只需要f′（1）=（a﹣1）e≤0，即a≤1，故有0＜a≤1；

当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2﹣1）ex＜0，函数符合条件；

当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=﹣xex＜0，函数符合条件；

当a＜0时，因f′（0）=﹣a＞0函数不符合条件；

综上知，a的取值范围是0≤a≤1

（2）解：因为 g（x）=f（x）﹣f′（x）=（ax2﹣（a+1）x+1）ex﹣[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex=（﹣2ax+a+1）ex，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex，

（i）当a=0时，g′（x）=ex＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e

（ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1）有g′（x）=﹣2xex＜0，则有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；

（iii）当0＜a＜1时，由g′（x）=0得x= ＞0，

①若 ，即0＜a≤ 时，g（x）在[0，1]上是增函数，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1﹣a）e，最小值是g（0）=1+a；

②若 ，即 ＜a＜1时，g（x）在x= 取得最大值g（ ）=2a ，在x=0或x=1时取到最小值，

而g（0）=1+a，g（1）=（1﹣a）e，

则令g（0）=1+a≤g（1）=（1﹣a）e可得 ＜a≤ ；令g（0）=1+a≥g（1）=（1﹣a）e可得 ≤a＜1

综上，当 ＜a≤ 时，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，

当 ≤a＜1时，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1﹣a）e

【解析】（1）由题意，函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合f（0）=1，f（1）=0这两个方程即可求得a取值范围；（2）由题设条件，先给出g（x）=f（x）﹣f′（x）的解析式，求出导函数，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex ， 由于参数a的影响，函数在[0，1]上的单调性不同，结合（1）的结论及g′（x）可得．（i）当a=0时；（ii）当a=1时；（iii）当0＜a＜1时，分三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．