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    中心在原点的双曲线C1的一个焦点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，抛物线C2的准线l与双曲线C1的一个交点为A，且|AF|=5．
    （Ⅰ）求双曲线C1的方程；
    （Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C1相交于不同两点M，N，且
    .
    MB
    =λ
    .
    BN
    ．
    ①求直线m的斜率k的变化范围；
    ②当直线m的斜率不为0时，问在直线y=x上是否存在一定点C，使
    .
    OB
    ⊥（
    .
    CM
    -λ
    .
    CN
    ）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）设所求双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0），直线l与x轴交于F′，根据|AF|=5，|FF′|=4，能够求出所求的双曲线方程．
    （Ⅱ）设直线m：y=kx+1，代入x2-
    y2
    3
    =1得，（3-k2）x2-2kx-4=0，由直线m与曲线C1交于两点M，N，能求出-2＜k＜-
    		3
    ，或-
    		3
    ＜k＜
    		3
    ，或
    		3
    ＜k＜2．设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），得
    x1+x2=
    -2k
    k2-3
    x1x2=
    4
    k2-3
    ，由
    MB
    =λ
    BN
    ，得（-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1），所以x1=-λx2，由此入手能够求出存在点C（-3，-3），满足要求．
    解答：解：（Ⅰ）由条件得F（2，0），l：x=-2．
    设所求双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0），
    直线l与x轴交于F′，根据|AF|=5，|FF′|=4，
    得|AF′|=3，
    从而
    c=2
    b2
    a
    =3
    ．
    解得a=1，b=
    		3
    ．从而所求的双曲线方程为：x2-
    y2
    3
    =1；

    （Ⅱ）①设直线m：y=kx+1，代入x2-
    y2
    3
    =1得，
    （3-k2）x2-2kx-4=0，
    ∵直线m与曲线C1交于两点M，N．
    ∴
    3-k2≠0
    (-k)2+4(3-k2)＞0
    ，
    解得-2＜k＜-
    		3
    ，或-
    		3
    ＜k＜
    		3
    ，或
    		3
    ＜k＜2．
    ②设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
    由上面可得
    x1+x2=
    -2k
    k2-3
    x1x2=
    4
    k2-3
    ，
    由
    MB
    =λ
    BN
    ，得（-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1），
    ∴x1=-λx2，
    设存在点C（t，t），
    则
    CM
    -λ
    CN
    =(x1-t，y1-t)-λ(x2-t，y2-t)
    =（x1-λx2+t（λ-1），y1-λy2+t（λ-1）），
    又
    OB
    =(0，1)    ，从而由
    OB
    ⊥(
    CM
    -λ
    CN
    )    ，
    得y1-λy2+t（λ-1）=0．
    因直线m的斜率不为零，故λ≠1．
    所以解得t=
    y1-λy2
    1-λ
    =
    kx1+1-λ(kx2+1)
    1-λ
    =1+k?
    x1-λx2
    1-λ
    ．
    因为λ=-
    x1
    x2
    ，代入得t=1+k?
    2x1x2
    x1+x2
    ，
    因为
    x1+x2=
    -2k
    k2-3
    x1x2=
    4
    k2-3
    ，
    代入得t=-3，即存在点C（-3，-3），满足要求．
    点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（
    		3
    ，0）
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3，0），一条渐近线的方程是
    		5
    x-2y=0    ．
    （Ⅰ）求双曲线C的方程；
    （Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
    81
    2
    ，求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（
    		3
    ，0）．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若直线l：y=kx+1与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，P是弦AB的中点，OP的斜率为
    2
    3
    （其中O为原点），求k的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于
    3
    2
    ，则C的方程是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知中心在原点的双曲线C的离心率为
    2
    		3
    3
    ，一条准线方程为x=
    3
    2

    （1）求双曲线C的标准方程
    （2）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2    （其中O为原点），求k的取值范围．

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