【题目】如图,在多面体,底面是菱形, , 平面, , , , .
(1)求证: ;
(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:⑴作交于, 交于,连接, , ,易推出四边形是平行四边形,得出,在推出, , ,
⑵建立空间直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,然后利用公式计算出结果
解析:(Ⅰ)证明:作ME∥PA交AB于E,NF∥PA交AD于F,连接EF,BD,AC.
由PM∥AB,PN∥AD,易得ME綊NF,
所以四边形MEFN是平行四边形,
所以MN∥EF,因为底面ABCD是菱形,
所以AC⊥BD,又易得EF∥BD,所以AC⊥EF,所以AC⊥MN,
因为PA⊥平面ABCD,EF平面ABCD,
所以PA⊥EF,所以PA⊥MN,因为AC∩PA=A,
所以MN⊥平面PAC,故MN⊥PC.
(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示,
则C(0,1,0),M,N,A(0,-1,0),P(0,-1,2),B(,0,0),
所以=,=,=(0,0,2),=(,1,0),
设平面MNC的法向量为m=(x,y,z),则
令z=1,得x=0,y=,
所以m=;
设平面APMB的法向量为n=(x1,y1,z1),则
令x1=1,得y1=-,z1=0,
所以n=(1,-,0),
设平面MNC与平面APMB所成锐二面角为α,
则cos α===,
所以平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值为.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线,在极坐标系(与直角坐标系取相同的单位长度,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.
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【题目】已知空间几何体中, 与均为边长为的等边三角形, 为腰长为的等腰三角形,平面平面,平面平面.
(Ⅰ)试在平面内作一条直线,使得直线上任意一点与的连线均与平面平行,并给出详细证明;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
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【题目】2016年10月9日,教育部考试中心下发了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》,在各科修订内容中明确提出,增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.宿州市教育部门积极回应,编辑传统文化教材,在全市范围内开设书法课,经典诵读等课程.为了了解市民对开设传统文化课的态度,教育机构随机抽取了200位市民进行了解,发现支持开展的占,在抽取的男性市民120人中持支持态度的为80人.
(Ⅰ)完成列联表,并判断是否有的把握认为性别与支持与否有关?
(Ⅱ)为了进一步征求对开展传统文化的意见和建议,从抽取的200位市民中对不支持的按照分层抽样的方法抽取5位市民,并从抽取的5人中再随机选取2人进行座谈,求选取的2人恰好为1男1女的概率.
附: .
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【题目】2017年是内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年,举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布,随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的居民进行调查,所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.
年龄 | |||
单人促销价格(单位:元) |
(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计该市被抽取市民的年龄的平均数;
(Ⅱ)某旅行社针对“旅游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动,各年龄段的促销价位如表所示.已知该旅行社的运营成本为每人元,以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布,试通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利;
(Ⅲ)若按照分层抽样的方法从年龄在, 的居民中抽取人进行旅游知识推广,并在知识推广后再抽取人进行反馈,求进行反馈的居民中至少有人的年龄在的概率.
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【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | |||
认为共享产品对生活无益 | |||
总计 |
(1)根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为对共享产品的态度与性别有关系?
(2)现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人,再从人中随机抽取人赠送超市购物券作为答谢,求恰有人是女性的概率.
参与公式:
临界值表:
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【题目】在直角坐标系中,直线的方程是,圆的参数方程是(为参数),以原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)分别求直线与圆的极坐标方程;
(2)射线: ()与圆的交点为, 两点,与直线交于点,射线: 与圆交于, 两点,与直线交于点,求的最大值.
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