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    （2013•北京）给定数列a1，a2，…，an．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi．
    （Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
    （Ⅱ）设a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，dn-1是等比数列；
    （Ⅲ）设d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，an-1是等差数列．
    分析：（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值；
    （Ⅱ）依题意，可知an=a1qn-1（a1＞0，q＞1），由dk=ak-ak+1⇒dk-1=ak-1-ak（k≥2），从而可证
    dk
    dk-1
    （k≥2）为定值．
    （Ⅲ）依题意，0＜d1＜d2＜…＜dn-1，可用反证法证明a1，a2，…，an-1是单调递增数列；再证明am为数列{an}中的最小项，从而可求得是ak=dk+am，问题得证．
    解答：解：（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，故d1=A1-B1=2，同理可求d2=3，d3=6；
    （Ⅱ）由a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{an}的通项为：an=a1qn-1，且为单调递增的数列．
    于是当k=1，2，…n-1时，dk=Ak-Bk=ak-ak+1，
    进而当k=2，3，…n-1时，
    dk
    dk-1
    =
    ak-ak+1
    ak-1-ak
    =
    ak(1-q)
    ak-1(1-q)
    =q为定值．
    ∴d1，d2，…，dn-1是等比数列；
    （Ⅲ）若d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差数列，则0＜d1＜d2＜…＜dn-1．
    先证明a1，a2，…，an-1是单调递增数列．
    否则设ak是第一个使得ak≤ak-1成立的项，则Ak-1=Ak，Bk-1≤Bk，因此dk-1=Ak-1-Bk-1≥Ak-Bk=dk，矛盾．
    因此a1，a2，…，an-1是单调递增数列…①
    再证明am为数列{an}中的最小项，否则设ak＜am（k=1，2，…n-1），显然k≠1，否则d1=A1-B1=a1-B1≤a1-a1=0，与d1＞0矛盾；
    因而k≥2，此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak＜0，矛盾．
    因此am为数列{an}中的最小项，…②
    综合①②dk=Ak-Bk=ak-am（k=1，2，…n-1），于是ak=dk+am，也即a1，a2，…，an-1是等差数列．
    点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．
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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年安徽省高三6月考前训练理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    目前，在我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感病毒，为有效防控，2013年4月下旬，北京疫苗研制工作进入动物免疫原性试验阶段。假定现已研制出批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，准备在A、B、C三种动物身上做试验，给每种动物做实验所选用的疫苗是从这五个批号中任选其中一个批号的疫苗.

    （Ⅰ）求给三种动物注射疫苗的批号互不相同的概率；

    （Ⅱ）记给A、B、C三种动物注射疫苗的批号最大数为，求的分布列和数学期望.

     

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