Question

已知函数．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[1，e]的最小值为，求a的值；
（3）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=1时，，．…（1分）
∴，
∴曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线方程为y+1=2（x-1），
即2x-y-3=0．…（3分）
（2）由题意其导函数为：．…（4分）
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，…（5分）
∴，∴（舍去）； …（6分）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
…（7分）∴，∴（舍去）； …（8分）
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，…（9分）
∴，∴．
综上所述，．…（10分）
（3）∵f（x）＜x²，∴，又x＞0，∴a＞xlnx-x³．…（11分）
令g（x）=xlnx-x³，则h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，．…（12分）
∵当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）上是减函数．
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴g（x）＜g（1）=-1，…（13分）
∴当a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（14分）
分析：（1）只需把a=1代入函数，分别求得f（1），f′（1），即可写出切线的方程；（2）求得导数，然后通过分类讨论的方式分别对三种情况加以考虑，得出结论；（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题来解决．
点评：本题考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，属难题．