Question

17．（1）求过点A（3，2）且垂直于直线4x+5y-8=0的直线方程．
（2）求过三点A（0，0）、B（1，1）、C（4，2）圆的方程．

Answer 1

分析 （1）根据两直线垂直，斜率之积等于-1，设过点P与l垂直的直线方程是4y-5x+n=0，=0，把点P（3，2）代入可解得n值，从而得到所求的直线方程．
（2）根据垂径定理可知圆心在圆中弦的垂直平分线上，所以利用中点坐标公式分别找出弦OM₁和OM₂的中点坐标和各自的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1找出弦OM₁和OM₂的垂直平分线的斜率，即可写出两垂直平分线的方程，然后联立两直线方程求出两垂直平分线的交点坐标即为圆心的坐标，再然后利用两点间的距离公式求出圆心到O点的距离即为圆的半径．

解答 解：（1）设过点P与l垂直的直线方程是 4y-5x+n=0，
把点P（3，2）代入可解得n=7，
故所求的直线方程是4y-5x+7=0，即5x-4y-7=0；
（2）AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），直线AB的斜率为1，所以垂直平分线的斜率为-1
则线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$）化简得x+y-1=0①；
同理得到AC的中点坐标为（2，1），直线AC的斜率为$\frac{1}{2}$，所以垂直平分线的斜率为-2
则线段AC的垂直平分线方程为y-1=-2（x-2）化简得2x+y-5=0②．
联立①②解得x=4，y=-3，则圆心坐标为（4，-3），圆的半径r=5
则圆的标准方程为：（x-4）²+（y+3）²=25．

点评 本题考查根据两直线平行和垂直的性质，利用待定系数法求直线方程的方法．考查学生会利用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程，是一道中档题．