Question

8、已知函数f（x）=ax-x³，对区间（0，1]上的任意两个值x₁、x₂，当x₁＜x₂时总有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，则a的取值范围是（　　）

A、[4，+∞）

B、（0，4）

C、（1，4）

D、（0，1）

Answer 1

分析：由于x₁＜x₂时总有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，故可将解析式代入，进行整理化简，分离出常数a来，得到a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在区间（0，1]上恒成立进而判断出右边式子的最值，得出参数a的取值范围．

解答：解：f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立
即ax₁-x₁³-ax₂+x₂³＞x₂-x₁成立
即a（x₂-x₁）-（x₂-x₁）（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞x₂-x₁成立
∵x₁＜x₂，即x₂-x₁＞0
∴a-（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞1成立
∴a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在区间（0，1]上恒成立
当x₁x2的值为1时，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值为4，由于x₁＜x₂≤1故，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值取不到4
∴a≥4
故选 A

点评：本题考点是函数恒成立的问题，通过对f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁进行转化变形，得到关于参数的不等式a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在区间（0，1]上恒成立，此种方法是分离常数法在解题中的应用，对此类恒成立求参数的问题，要注意此类技巧的使用．