Question

14．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁，$\frac{1}{2}$，3a₂成等差数列．a₂，$\frac{1}{3}$a₃，a₆成等比数列；
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$，记c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）记数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，从而可得2a₁+3•a₁q=2×$\frac{1}{2}$；（a₁q）（a₁q⁵）=（$\frac{1}{3}$a₁q²）²；从而求通项公式；
（Ⅱ）化简b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=log₃3ⁿ=n，c_n=a_n•b_n=n$\frac{1}{{3}^{n}}$；根据通项公式可知利用错位相减法求和．

解答 解：（I）记数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵2a₁，$\frac{1}{2}$，3a₂成等差数列，
∴2a₁+3•a₁q=2×$\frac{1}{2}$；
∵a₂，$\frac{1}{3}$a₃，a₆成等比数列；
∴（a₁q）（a₁q⁵）=（$\frac{1}{3}$a₁q²）²；
解得，a₁=$\frac{1}{3}$，q=$\frac{1}{3}$；
故a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=log₃3ⁿ=n，
故c_n=a_n•b_n=n$\frac{1}{{3}^{n}}$；
T_n=$\frac{1}{3}$+2$\frac{1}{{3}^{2}}$+3$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+n$\frac{1}{{3}^{n}}$；
3T_n=1+2$\frac{1}{3}$+3$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n$\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
2T_n=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-n$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n$\frac{1}{{3}^{n}}$，
故T_n=$\frac{3（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{4}$-$\frac{1}{2}$n$\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质应用及错位相减法的应用．