Question

20．在正项等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，2是a₃与a₅的等比中项，记b_n=5-log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列的性质推导出a₃=4，a₅=1，从而求出$q=\frac{1}{2}，{a}_{1}=16$，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵在正项等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴${{a}_{3}}^{2}+2{a}_{3}{a}_{5}+{{a}_{5}}^{2}=25$，又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，①…（2分）
又2为a₃与a₅的等比中项，∴a₃a₅=4，②
又q∈（0，1），∴a₃＞a₅，
∴联立①②，解得a₃=4，a₅=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{{q}^{4}}_{\;}=1}\end{array}\right.$，由q∈（0，1）解得$q=\frac{1}{2}，{a}_{1}=16$，…（4分）
∴${a}_{n}=16×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^5-n，
∴b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n．…（6分）
（2）解：∵$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．…（8分）
∴${S}_{n}=\frac{1}{{b}_{1}{b}_{3}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{4}}+…+\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和裂项求和法的合理运用．