Question

12．已知在数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1+a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=a_n-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．
（1）证明：数列{b_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}前n项和S_n ．

Answer 1

分析 （1）利用已知只要证明$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$为非0常数即可，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）由b_n=a_n-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．可得a_n=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$+$\frac{1}{3}×{2}^{n+1}$，对n分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-{a}_{n}+{2}^{n+1}-\frac{{2}^{n+1}×2}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-（{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}）}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=-1，
b₁=a₁-$\frac{{2}^{2}}{3}$=1-$\frac{4}{3}$=-$\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}为等比数列，首项为-$\frac{1}{3}$，公比为-1．
∴b_n=-$\frac{1}{3}×（-1）^{n-1}$=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．
（2）解：∵b_n=a_n-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．
∴a_n=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$+$\frac{1}{3}×{2}^{n+1}$，
当n=2k（k∈N^*）时，S_n=$\frac{1}{3}[（-1+1）+（-1+1）+…+（-1+1）]$+$\frac{1}{3}×\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{4}{3}（{2}^{n}-1）$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=$\frac{4}{3}（{2}^{n}-1）$-$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．