Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P(

3

3

，

11

2

)在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过F₂（1，0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，若△OEF的面积为

6 2

7

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）先根据椭圆标准方程，依题意得关于a，b的方程组，进而求得a，b，则椭圆方程可得．
（II）先得出直线l的率存在且不为0，再将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用弦长公式即可得△OEF的面积，列出k的方程，即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，

a2-b2=1 1 3a2 + 11 4b2 =1

解得，a²=4，b²=3…（3分）
∴椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（Ⅱ）：若直线l⊥x轴，则直线l的方程为x=1，易知E(1，

3

2

)，F(1，-

3

2

)∴△OEF的面积S=

1

2

×1×3=

3

2

≠

6 2

7

，所以直线l的率存在且不为0，可设l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）∴

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

12 1+k2

3+4k2

…（8分）∴|y1-y2|=|k(x1-x2)|=

12|k| 1+k2

3+4k2

∵△OEF的面积为

6 2

7

，|OF₂|=1，∴

1

2

×|OF2|×|y1-y2|=

6 2

7

，
解得k=±1，所以直线l的方程为：x±y-1=0…（10分）．

点评：本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系，考查运算求解能力与转化思想．解答的关键是利用方程思想得出弦长，属于基础题．