Question

11．已知函数f（x）=cos²（x+$\frac{π}{12}$），g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值．
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦可求得f（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]，x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴⇒2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ⇒g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$），对k分k为偶数与k为奇数讨论即可求得g（2x₀）的值；
（2）利用三角函数间的恒等变换可求得h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$，再利用正弦函数的单调性，可得结论．

解答 解：（1）由题设知f（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]，
∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，即2x₀=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin2x₀=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$），
当k为偶数时，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$；
当k为奇数时，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin $\frac{π}{6}$=$\frac{5}{4}$．…（6分）
（2h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]+1+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin2x]+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$．
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z），…（12分）

点评 本题考查二倍角的余弦、三角函数间的恒等变换、正弦函数的对称性、单调性，考查分析与运算能力，属于中档题．