Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求点A到面EBD的距离．

Answer 1

分析：由于本题给出了三条两两垂直且相交于一点的三条直线DA、DP、DC，故可以考虑建立空间直角坐标系，用向量法解决．对于问题（1），由于条件中已经给出了EF⊥PB，故只需再证明PB⊥DE即可，二者的坐标都可以求出，只需计算

PB

•

DE

=0即可得证．
对于问题（2），平面PBD一个法向量A

•

C

已经给出，只需找出平面PBC的一个法向量即可，由于三角形PDC是等腰直角三角形，E是PC的中点，容易得到DE⊥PC，而BC与平面PDC垂直容易证明，故能证明所以

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）是平面PBC的一个法向量，所以只需求这两个法向量的夹角即可；
对于问题（3），求点A到面EBD的距离，只需求出平面EBD的一个法向量，A到面EBD的距离转化为向量AB在这个法向量上的投影即可．

解答：解：建立空间直角坐标系，如图．则A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），D，（0，0，0），P（0，0，1），E（0，

1

2

，

1

2

）
（1）P

•

B

=（1，1，-1），

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）
因为

PB

•

DE

=（1，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
所以P

•

B

⊥D

•

E

．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD
（2）由题知，A

•

C

=（-1，1，0）是平面PBD的一个法向量
又

PC

•

DE

═（0，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
所以

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）是平面PBC的一个法向量
cos＜D

•

E

，A

•

C

＞=

D • E •A • C

| DE |•| AC |

=

1 2

- 2 2 2

=

1

2

从而二面角C-PB-D的大小为60°
（3）设平面EBD的一个法向量为

•

n

（x，y，z）
则有

n • BE =0 • n •D • E =0

?

(x，y，z)•(-1，- 1 2 1 2 )=0 (x，y，z)•(0，- 1 2 1 2 )=0

?

-x- 1 2 y+ 1 2 z=0 1 2 y+ 1 2 z=0

?

x=z y=-z

所以

•

n

=（1，-1，1）是平面EBD的一个法向量．点A到面EBD距离d=

| • n •AB|

| n |

=

3

3

点评：本题考查线面垂直的判定、二面角的求法、点到面的距离的计算，在本题的条件下，选择使用向量法，将证明问题转化为向量的计算问题，使问题简单化，但是要注意求二面角时先求两个半平面的法向量，再计算其夹角；点A到面EBD的距离转化成向量AB在面EBD的一个法向量上的投影．