Question

17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$，若f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0有5个不同的实数解，则a=2．

Answer 1

分析 令t=f（x），方程f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0可化为t²-（3a-1）t+a²=0，画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$的图象，数形结合，可得方程t²-（3a-1）t+a²=0有两个根，其中一个为1，一个为0或大于1的数，进而可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$的图象如图所示：
令t=f（x），则方程f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0可化为t²-（3a-1）t+a²=0，
若方程f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0有5个不同的实数解，
则方程t²-（3a-1）t+a²=0有两个根，其中一个为1，一个为0或大于1的数，
将t=1代入得：1-（3a-1）+a²=0，
解得：a=1，或a=2，
当a=1时，方程t²-（3a-1）t+a²=0可化为：方程t²-2t+1=0，此时方程只有一个根1，不满足条件；
当a=2时，方程t²-（3a-1）t+a²=0可化为：方程t²-5t+4=0，此时方程一个根为1，一个根为4，满足条件；
综上所述：a=2，
故答案为：2

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，方程的根与函数零点的关系，难度中档．