Question

（2012•无为县模拟）函数f（x）是定义域为R的可导函数，且对任意实数x都有f（x）=f（2-x）成立．若当x≠1时，不等式（x-1）•f′（x）＜0成立，设a=f（0.5），b=f(

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3

)，c=f（3），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．b＞a＞c

B．a＞b＞c

C．c＞b＞a

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上是增函数．再由|3-1|＞|0.5-1|＞|

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3

-1|，故 f（

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3

）＞f（0.5）＞f（3），
由此得出结论．

解答：解：由f（x）=f（2-x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
再由 （x-1）•f′（x）＜0成立可得，当x＞1，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当x＜1，f′（x）＞0，故函数f（x）在（-∞，0）上是增函数．
由于|3-1|＞|0.5-1|＞|

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-1|，故 f（

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3

）＞f（0.5）＞f（3），即 b＞a＞c，
故选A．

点评：本题主要考查函数的对称性和单调性的应用，不等式与不等关系，属于基础题．