Question

（2013•石家庄二模）已知球0夹在一个锐二面角a-l-β之间，与两个半平面分别相切于点A、B，若AB=

3

，球心0到该二面角的棱l的距离为2，则球0的体积为（　　）

• A．8

  3

  π
• B．4

  3

  π
• C．4π
• D．

  4

  3

  π

Answer 1

分析：设O、A、B三点确定的平面交棱l于点C，连接AC、CB、OC．可得∠ACB就是二面角a-l-β的平面角且OC=2，Rt△OAC中设OA=x，AC=y，利用勾股定理和等积转换，列出关于x、y的方程组．结合二面角a-l-β是锐二面角，解出半径R=OA=

3

，利用球的体积公式即可算出本题答案．

解答：解：设O、A、B三点确定的平面交棱l于点C，连接AC、CB、OC
则∠ACB就是二面角a-l-β的平面角，OC长即为点O到棱l的距离，OC=2
设OA=x，AC=y，则Rt△OAC中，

OC= x2+y2 =2 xy= 1 2 ×AB×OC= 3

解之得x=

3

，y=1或x=1，y=

3

∵二面角a-l-β是锐二面角，
∴当x=

3

，y=1时，∠ACB=120°不符合题意；当x=1，y=

3

时，∠ACB=60°符合题意
因此球0的半径R=OA=1，得球0的体积为V=

4

3

•π•13=

4π

3

故选：D

点评：本题给出锐二面角的内切球，在已知切点之间的距离和球心到棱的距离情况下求球的体积．着重考查球的体积积公式和解直角三角形的知识，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．