【题目】已知函数.
(1)若是的一个极值点,判断的单调性;
(2)若有两个极值点,,且,证明:.
【答案】(1)在单调递减,在单调递增.(2)见解析
【解析】
(1)求出导函数,由极值点求出参数,确定的正负得的单调性;
(2)求出,得极值点满足:
所以,由(1)即,不妨设.要证,则只要证,而,因此由的单调性,只要能证,即即可.令,利用导数的知识可证得结论成立.
(1)由已知得.
因为是的一个极值点,所以,即,
所以,
令,则,
令,得,令,得;
所以在单调递减,在单调递增,
又当时,,,
所以当时,,当时,;
即在单调递减,在单调递增.
(2),因此极值点满足:
所以由(1)即,不妨设.
要证,则只要证,而,因此由的单调性,只要能证,即即可.
令,
则,
当时,,,,所以,
即在单调递增,又,
所以,
所以,即,
又,,在单调递增,
所以,即.
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【题目】研究表明某地的山高 ()与该山的年平均气温 ()具有相关关系,根据所采集的数据得到线性回归方程,则下列说法错误的是( )
A.年平均气温为时该山高估计为
B.该山高为处的年平均气温估计为
C.该地的山高与该山的年平均气温的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关
D.该地的山高与该山的年平均气温成负相关关系
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【题目】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上,且椭圆的短轴长为2,分别为椭圆的左,右焦点,分别为椭圆的左,右顶点,设点在第一象限,且轴,连接交椭圆于点,直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若三角形的面积等于四边形的面积,求的值;
(Ⅲ)设点为的中点,射线(为原点)与椭圆交于点,满足,求的值.
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【题目】某工厂预购软件服务,有如下两种方案:
方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;
方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
(1)设日收费为元,每天软件服务的次数为,试写出两种方案中与的函数关系式;
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】如图,已知定圆,定直线过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点,是中点.
(1)当与垂直时,求证:过圆心;
(2)当时,求直线的方程;
(3)设,试问是否为定值,若为定值,请求出的值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】如图所示,多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,,,EF到平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积V为( )
A.B.5C.6D.
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