Question

已知椭圆＝1(a＞b＞0)的一个顶点的坐标为A(0，－1)，且右焦点F到直线x－y＋＝0的距离为3．

(Ⅰ)求该椭圆的方程；

(Ⅱ)是否存在斜率不为0的直线l，使其与已知椭圆交于M、N两点，满足AM⊥AN，且|AM|＝|AN|．

(Ⅲ)若斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，使得|AM|＝|AN|，求k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由已知b＝1． 又椭圆右焦点F(c，0)到直线x－y＋＝0的距离为 ＝3． ∴c＝． 可得＝3． 故椭圆的方程为＝1． (Ⅱ)不存在． 若存在直线l∶y＝kx＋m(k≠0)满足条件，则建立方程组 消去y，得()＋6kmx＋3()＝0．…………① 判别式 △＝－4(＋1)×3(－1)＞0． 即 0．……………② 设 M()、N()，MN的中点为B， 由方程①及韦达定理，有 由直线l的方程，得 ∴MN中点B的坐标为()． 又由|AM|＝|AN|，有AB⊥MN， ∴ 化简后得 m＝． 于是中点B的坐标为()． 不等式②可化为 (－12)×＞0， 即 9(＋1)(1－)＞0． 解得 －1＜k＜1．(k≠0) 若AM⊥AN，则|AB|＝|MN|． ， 又 ∴ 由＝＝， 即 ＝1． ＝0，与题设k≠0矛盾． 故 满足条件的直线l不存在． (Ⅲ)设直线l的方程为y＝kx＋m， 建立方程组 消去y，得＝0，① 判别式 △＝＞0， 即 ＞0，② 设 ，MN的中点为B， 由方程①及韦达定理，有 代入直线l的方程，得， ∴MN中点B的坐标为()． 又由|AM|＝|AN|，有 AB⊥MN， ∴． 化简后得 m＝， 不等式②可化为 (－12)×＞0， 即 ＞0， 解得 －1＜k＜1． 故 直线l的斜率k的取值范围为(－1，1)．