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已知函数数学公式(其中n为常数,n∈N*),将函数fn(x)的最大值记为an,由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn
(Ⅰ)求Sn
(Ⅱ)若对任意的n∈N*,总存在x∈R+使数学公式,求a的取值范围;
(Ⅲ)比较数学公式与an的大小,并加以证明.

解:(Ⅰ),(2分)
令fn′(x)>0,则x<en+1-n.
∴fn(x)在(-n,en+1-n)上递增,在(en+1-n,+∞)上递减.(4分)
∴当x=en+1-n时,(5分)

.(6分)
(Ⅱ)∵n≥1,∴en+1递增,n(n+1)递增,
递减.

(8分)
,则
∴g(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减.
当x→0时,
当x→+∞时,
又g(1)=1+a,
∴g(x)∈(a,1+a](10分)
由已知得,(a,1+a]?
(11分)
(Ⅲ)
=
=
=(12分)

在[1,+∞)上递减.

(13分)
(14分)

(15分)
分析:(Ⅰ),令fn′(x)>0,则x<en+1-n.所以fn(x)在(-n,en+1-n)上递增,在(en+1-n,+∞)上递减.由此能求出Sn
(Ⅱ)由n≥1,知en+1递增,n(n+1)递增,递减.所以,令,则,故g(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减.由此入手能够求出a的取值范围.
(Ⅲ)作差相减,得,整理为,令,能够推导出
点评:本题考查导数在函数最值中的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,仔细解答,注意培养运算能力,注意作差法的合理运用.
练习册系列答案
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