Question

如图，圆O为等腰梯形ABCD的外接圆，且AB∥CD，过点C作圆的切线CE交AB的延长线于E，证明：
（1）∠E=∠CAD
（2）AC²=CD•AE．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由已知条件推导出AD=BC，从而得到∠ACD=∠BAC．再由AE为圆的切线，能证明∠ECB=∠BAC，再由圆内接四边形的性质，可得∠CBE=∠D，进而∠E=∠CAD；
（2）先证明△ACD∽△CAE，故AC•CE=CD•AE．再证明AC=CE，可得AC²=CD•AE．

解答： 证明：（1）∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴AD=BC． 
∴∠ACD=∠BAC，
∵AE为圆的切线，
∴∠ECB=∠BAC．
∴∠ACD=∠ECB．
又∵∠CBE=∠D，
∴∠E=∠CAD；
（2）∵AE为圆的切线，
∴∠ECA=∠CDA，
由（1）中∠ACD=∠BAC，
∴△ACD∽△CAE，
∴AC：AE=CD：CE
即AC•CE=CD•AE．
又∵∠E=∠CAD
∴AC=CE，
∴AC²=CD•AE．

点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，难度中档．