思路分析:首先将全程燃料费表示成静水中速度的函数,然后求其最值.
解:设船在静水中的速度为v(km/h),则船每小时的燃料费用为kv2,
而全程所需时间为,
故全程的燃料费用为y=·kv2=ks[(v-a)+
+2a][v∈(a,b)).
(1)当2a≤b时,y=ks[(v-a)++2a]≥4aks.
等号当且仅当v-a=,即v=2a时成立.
∴当v=2a时,其全程的燃料费用最少.
(2)当2a>b时,令t=v-a,z=t+,
则0<t≤b-a.
设0<t1<t2≤b-a<a,
则0<t1t2≤(b-a)2<a2,
∴>1,t1-t2<0.∴z1-z2=t1+
-(t2+
)=(t1-t2)(1-
)>0,
即z1>z2.
∴z=t+在(0,b-a)上递减.
故当t=b-a,即v=b时,y有最小值.
综上所述,要使全程的燃料费用最少,则应:当b≥2a时,v=2a;当b<2a时,v=b.
科目:高中数学 来源:三点一测丛书 高中数学 必修5 (江苏版课标本) 江苏版课标本 题型:044
一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时)(q>p),已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.
(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域.
(2)为了使全程燃料费用最少,船的实际前进速度应为多少?
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