Question

如图在四棱锥P-ABCD中侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形．其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点
①若CD∥平面PBO 试指出O的位置并说明理由
②求证平面PAB⊥平面PCD
③若PD=BC=1，AB=2

2

，求P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：①CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD；
②要证平面AB⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD内的两条相交直线AB、PA即可；
③过P作PE⊥AD，可得PE⊥底面ABCD，再利用四棱锥体积公式，即可得出结论．

解答：①解：因为CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，
所以BO∥CD
又BC∥AD，
所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，
而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．
②证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，且AB⊥交线AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，
且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
所以PD⊥平面PAB，PD?平面PCD，
所以：平面PAB⊥平面PCD；
③解：过P作PE⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥底面ABCD，
∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD，
∴PA=2

2

∴PE=

2 2

3

∵AB=2

2

，∠BAD=90°
∴P-ABCD的体积为

1

3

•

1

2

•(1+3)•2

2

•

2 2

3

=

16

9

．

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．