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1.如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.
(Ⅰ)证明:tan$\frac{B}{2}=\frac{sinB}{1+cosB}$;
(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$的值.

分析 (Ⅰ)直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.
(Ⅱ)通过A+C=180°,得D=180°-B,利用(Ⅰ)化简tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$=$\frac{1-cosB}{sinB}$+$\frac{1-cosD}{sinD}$=$\frac{2}{sinB}$,连结AC,求出sinB,然后求解即可.

解答 证明:(Ⅰ)tan$\frac{B}{2}$=$\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinB}{2co{s}^{2}\frac{B}{2}}$=$\frac{sinB}{1+cosB}$,等式成立
(Ⅱ)由A+C=180°,得D=180°-B,
由(Ⅰ)可知:tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$=$\frac{1-cosB}{sinB}$+$\frac{1-cosD}{sinD}$=$\frac{2}{sinB}$
连结AC,在△ABC中,有AC2=62+32-2•6•3cosB,
在△ACD中,有AC2=52+42-2•5•4cosD,
所以62+32-2•6•3cosB=52+42-2•5•4cosD,
则:cosB=$\frac{1}{19}$,
于是sinB=$\frac{6\sqrt{10}}{19}$.
所以tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$=$\frac{19\sqrt{10}}{30}$.

点评 本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理.简单的三角恒等变换,考查函数与方程的思想,转化与化归思想的应用.

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