Question

已知向量

a

=（sin2x，1），向量

b

=（

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1），函数f（x）=λ（

a

•

b

-1）
（1）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]且当λ≠0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当λ=2时，写出由函数y=sin2x的图象变换到函数y=f（x）的图象的变换过程．

Answer 1

分析：利用向量的数量积，二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，
（1）通过x∈[-

3π

8

，

π

4

]且当λ≠0时，∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

，对λ＞0，λ＜0分类讨论求出函数的单调减区间．
（2）当λ=2时，化简函数的表达式，根据左加右减，先将y=sin2x的图象向右平移

π

8

个单位，图象上每个点的纵坐标扩大为原来的

2

倍，
所得图象向上平移一个单位，变换到函数y=f（x）的图象．

解答：解：

a

•

b

=（sin2x，1）•（

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1）=sinx（sinx+cosx）+1
=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

) +

1

2

∴f（x）=λ[

2

2

sin(2x-

π

4

) +

1

2

]
（1）x∈[-

3π

8

，

π

4

]∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

当λ＞0时，由-π≤2x-

π

4

≤-

π

2

得单调递减区间为[-

3π

8

，-

π

8

]
同理，当λ＜0时，函数的单调递减区间为[-

π

8

，

π

4

]
（2）当λ=2，f（x）=

2

sin(2x-

π

4

) +1，变换过程如下：
1°将y=sin2x的图象向右平移

π

8

个单位可得函数y=sin(2x-

π

4

)的图象．
2°将所得函数图象上每个点的纵坐标扩大为原来的

2

倍，而横坐标保持不变，可得函数y=

2

sin(2x-

π

4

)的图象．
3°再将所得图象向上平移一个单位，可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

) +1的图象．

点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角函数的化简求值，函数的基本性质的应用，图象的变换，注意图象的变换的顺序和方法，否则容易出错．