Question

18．设z=ax+y中变量x、y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，若目标函数z仅在（5，2）处取得最大值，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{3}{5}$）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{5}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （$\frac{3}{5}$，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答 解：作出不等式对应的平面区域，
由z=ax+y得y=-ax+z，
要使目标函数z=ax+y仅在点A（5，2）处取得最大值，
则阴影部分区域在直线y=-ax+z的下方，
∴-a＜0，
即a＞0，即目标函数的斜率k，满足k＜k_AB=-$\frac{3}{5}$，
即-a＜-$\frac{3}{5}$，
则a＞$\frac{3}{5}$，
即a的取值范围是（$\frac{3}{5}$，+∞），
故选：D

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=ax+y仅在点（5，2）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．