Question

6．（1）已知（2-$\sqrt{3}$x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，求 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²的值；
（2）已知（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n．

Answer 1

分析 （1）分别令x=1，x=-1，代入已知的等式，化简变形可得（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²的值．
（2）由条件利用（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展开式的通项公式，可得$C_n^8+C_n^{10}=2C_n^9$，计算求得n的值．

解答 解：（1）令x=1，得${（2-\sqrt{3}）^{50}}={a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_{50}}；①$，
令x=-1，得${（2+\sqrt{3}）^{50}}={a_0}-{a_1}+{a_2}-…+{a_{50}}；②$，
把①②相乘得（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀）=（a₀-a₁+a₂ -a₃+a₄+…-a₄₉+a₅₀）
=（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）² =1⁵⁰=1．
（2）由于（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展开式的通项公式为 ${T_{r+1}}=C_n^r{x^{\frac{r}{2}}}$，由题知$C_n^8+C_n^{10}=2C_n^9$，
即 $\frac{n!}{8!（n-8）!}$+$\frac{n!}{10!（n-10）!}$=2•$\frac{n!}{9!（n-9）!}$，化简可的n²-37n+322=0，求得n=14，或 n=23．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案；还考查了二项展开式的通项公式，属于中档题．