Question

在135°的二面角α-AB-β内有一点P，点P到两个面α、β的距离分别为和3,则点P到棱AB的距离为(    )

A.                 B.               C.                D.

 

 

Answer 1

解析:如图，过点P作PE⊥α于点E，PF⊥β于点F，则PE=，PF=3.

∵α∩β=AB,PE⊥α,PF⊥β,

∴AB⊥PE,AB⊥PF.

又PE∩PF=P，∴AB⊥平面PEF.

设AB∩平面PEF=H，连结EH、FH、PH、EF，则∠EHF为二面角αABβ的平面角，PH⊥AB,

即∠EHF=135°，PH长就是所求.

∵PE⊥α,PF⊥β,∴PE⊥EH,PF⊥FH.

从而P、E、H、F四点共圆.

∴∠FPE=180°-∠FHE=180°-135°=45°,并且PH为这个圆的直径.

在△PEF中，由余弦定理，得

EF=.

在△EPF中，由正弦定理，得

PH=

因此点P到棱AB的距离为.

答案:D