Question

11．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}+6{cos^2}\frac{ωx}{2}$-3（ω＞0）
（1）若$y=f（x+θ）（0＜θ＜\frac{π}{2}）$是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在$（0，\frac{π}{3}）$上是增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式ω，根据偶函数的性质，求θ的值．
（2）根据g（x）=f（3x）求出g（x）的解析式，g（x）在$（0，\frac{π}{3}）$上是增函数，可得$\left\{\begin{array}{l}3ω×0+\frac{π}{3}≥2kπ-\frac{π}{2}\\ 3ω×\frac{π}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k≤\frac{5}{12}\\ ω≤2k+\frac{1}{6}\end{array}\right.（k∈Z）$，即可求解ω的最大值．

解答 解：（1）由$f（x）=2\sqrt{3}sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}+6{cos^2}\frac{ωx}{2}-3$=2$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）$（ω＞0）
∵$f（x+θ）=2\sqrt{3}sin（ωx+ωθ+\frac{π}{3}）$
又∵y=f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，且$2θ+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，解得：$θ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}（k∈Z）$
∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴当l=0时，$θ=\frac{π}{12}$．
故得$ω=2\;，θ=\frac{π}{12}$为所求；
（2）g（x）=f（3x），即g（x）=2$\sqrt{3}sin（3ωx+\frac{π}{3}）$（ω＞0）
∵g（x）在$（0，\frac{π}{3}）$上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}3ω×0+\frac{π}{3}≥2kπ-\frac{π}{2}\\ 3ω×\frac{π}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k≤\frac{5}{12}\\ ω≤2k+\frac{1}{6}\end{array}\right.（k∈Z）$，
∵ω＞0，
∴$2k+\frac{1}{6}＞0$，
故得$-\frac{1}{12}＜k＜\frac{5}{12}$，
于是k=0，∴$0＜ω≤\frac{1}{6}$，即ω的最大值为$\frac{1}{6}$，此时$g（x）=2\sqrt{3}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$．
故得ω的最大值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．