Question

18．若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，0）
• C． （-∞，e）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，则?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则a＜f（x）_max，利用导数法，求出函数的最大值，可得答案．

解答 解：若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，
则?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则a＜f（x）_max，
∵f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$为增函数，
x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$为减函数，
故x=e时，f（x）_max=$\frac{1}{e}$，
故a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{e}$）．
故选：A．

点评 本题考查了存在性问题，注意运用参数分离，利用导数求函数的最值是解题的关键，考查运算能力，难度中档．