Question

已知f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞0，且a≠1)．
（Ⅰ）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅱ）若不等式|x-a|≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，解关于x的不等式f-1(

1

2x

)＜loga

1+x

1-x

．

Answer 1

分析：（I）从条件中函数式y=f（x）中反解出x，再将x，y互换最后写出反函数的定义域即得．
（II）先利用题中条件求得a值，再结合反函数的单调性，把原不等式转化为不含对数符号的不等式后解之即得．

解答：解：（I）由y=

ax-1

ax+1

?ax=

1+y

1-y

?x=loga

1+y

1-y

，
交换x、y得：y=loga

1+x

1-x

，（4分）
又由ax=

1+y

1-y

＞0?y∈(-1，1)，
∴f^-1（x）=loga

1+x

1-x

（-1＜x＜1）；（6分）
（II）由

|-1-a|=3 |5-a|=3

?a=2，（8分）
∵f^-1（x）=log2

1+x

1-x

=log2(-1-

2

x-1

)在定义域（-1，1）内单调递增，
∴f-1(

1

2x

)＜log2

1+x

1-x

?f-1(

1

2x

)＜f-1(x)?-1＜

1

2x

＜x＜1?

x＜- 1 2 或x＞ 1 2 - 2 2 ＜x＜0或x＞ 2 2 x＜1

?x∈(-

2

2

，-

1

2

)∪(

2

2

，1)．（12分）

点评：本小题主要考查反函数、对数函数的单调性与特殊点、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．