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    在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其离心率为
    1
    2
    ，通径长为3．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）如图所示，过点F1的直线与椭圆交于A、B两点，I1、I2分别为△F1BF2、△F1AF2的内心，延长BF2与椭圆交于点M，求四边形F1I2F2I1的面积与△AF2B的面积的比值；
    （3）在x轴上是否存在定点P，使得
    PM
    •
    PB
    为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由题意可知：e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，通径为2
    b2
    a
    =3    ，由此能求出椭圆C的方程．
    （2）由于I1、I2分别为△F1BF2、△F1AF2的内心，根据内心的性质和等面积法，得点△F1BF2内切圆的半径r1=
    S△F1BF2
    1
    2
    (F1B+F1F2+F2B)
    =
    S△F1BF2
    a+c
    ，点△F1AF2内切圆的半径r2=
    S△F1AF2
    1
    2
    (F1B+F1F2+F2B)
    =
    S△F1AF2
    a+c
    ，由此能求出四边形F1I2F2I1的面积与△AF2B的面积的比值．
    （3）若存在点P，使得
    PM
    ，
    PB
    为定值，设点P（x0，0），lBM的方程为y=k（x-1），联立
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    y=k(x-1)
    ，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出
    PM
    •
    PB
    为定值-
    135
    64
    ．
    解答： 解：（1）由题意可知：e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，通径为2
    b2
    a
    =3    ，
    解得：a=2，b=
    		3

    故椭圆C的方程为：
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．（3分）
    （2）由于I1、I2分别为△F1BF2、△F1AF2的内心，
    根据内心的性质和等面积法可知：
    点△F1BF2内切圆的半径r1=
    S△F1BF2
    1
    2
    (F1B+F1F2+F2B)
    =
    S△F1BF2
    a+c
    ，
    同理可得：点△F1AF2内切圆的半径：
    r2=
    S△F1AF2
    1
    2
    (F1B+F1F2+F2B)
    =
    S△F1AF2
    a+c
    ，（5分）
    ∴四边形F1I2F2I1的面积与△AF2B的面积的比值：
    SF1I2F1I1
    S△AF1B
    =
    SF1I1F2+SF1I2F2
    S△F1BE+S△F1AF2

    =
    1
    2
    (r1+r2)•2c
    S△F1BF1+S△F1AF2
    =
    c
    a+c
    =
    1
    3
    ．
    （3）若存在点P，使得
    PM
    ，
    PB
    为定值，设点P（x0，0），
    若直线BM的斜率不存在，lBM的方程为：x=1，B（1，
    3
    2
    ），M（1，-
    3
    2
    ），
    则
    PM
    •
    PB
    =（x0-1）2-
    9
    4
    ，
    若直线BM的斜率存在，lBM的方程为y=k（x-1），
    点B（x1，y1），点M（x2，y2），
    联立
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    y=k(x-1)
    ，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
    根据韦达定理可得：x1+x2=
    8k2
    4k2+3
    ，x1x2=
    4k2-12
    4k2+3
    ，
    由于
    PM
    =(x2-x0，y2)    ，
    PB
    =(x1-x0，y1)
    则
    PM
    •
    PB
    =x1x2-(x1+x2)x0+
    x
    2
    0
    +y1y2=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+
    x
    2
    0
    ，
    整理可得：
    (4
    x
    2
    0
    -8x0-5)k2+3
    x
    2
    0
    -12
    4k2+3
    =λ    （λ为常数），（10分）
    则(4
    x
    2
    0
    -8x0-5-4λ)k2+3
    x
    2
    0
    -12-3λ=0    对?k∈R恒成立，
    故
    4x02-8x0-5-4λ=0
    3x02-12-3λ=0
    ，解得
    x0=
    11
    8
    λ=-
    135
    64
    ，（12分）
    经验证直线BM的斜率不存在时，
    PM
    •
    PB
    =（x0-1）2-
    9
    4
    =-
    135
    64
    ，
    ∴存在点P（
    11
    8
    ，0），使得
    PM
    •
    PB
    =（x0-1 ）2-
    9
    4
    =-
    135
    64
    ，
    ∴存在点P（
    11
    8
    ，0），使得
    PM
    •
    PB
    为定值-
    135
    64
    ．（13分）
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形与三角形面积比值的求法，考查向量的数量积为定值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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    lg5•lg8000+(lg2
    		3
    )    2
    lg600-
    1
    2
    lg36-
    1
    2
    lg0.01
    ．

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    设椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    1-a2
    =1的焦点在x轴上，若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程．

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    a
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    π
    2
    ．
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    π
    4
    cosφ-sin
    3π
    4
    sinφ=0，求φ的值；
    （2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于
    π
    3
    ，求函数f（x）的解析式；
    （3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，求b-a的取值范围．

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    （2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．

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    x
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    ．

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