Question

已知几何体A-BCDE如图所示，其中四边形BCDE为矩形，且BC=2，CD=

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，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCDE．
（Ⅰ）若F为边AC上的中点，求证：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）求此几何体A-BCDE的体积．

Answer 1

分析：（I）由已知中四边形BCDE为矩形，根据矩形的性质及已知中F为边AC上的中点，我们易由三角形中位线定理，得到AE∥FP，进而根据线面平行的判定定理，得到答案．
（II）取BC中点Q，连接AQ，由已知BC=2，CD=

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，△ABC是边长为2的等边三角形，可得AQ⊥BC，结合平面ABC⊥平面BCDE．及面面垂直的性质定理，得到AQ⊥平面BCDE
求出棱锥的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵四边形BCDE为矩形，∴P为EC的中点
∵F为AC的中点，∴在△ACE中有AE∥FP
又AE?平面BDF，FP?平面BDF∴AE∥平面BDF
（Ⅱ）取BC中点Q，连接AQ
∵AQ⊥BC且AQ=

3

∵平面ABC⊥平面BCDE，AQ?平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC∴AQ⊥平面BCDE
∴几何体A-BCDE的体积为V=

1

3

S矩形BCDE×AQ=

1

3

×BC×CD×AQ=

1

3

×2×

3

×

3

=2

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键，是熟练掌握线面平行的判定定理，（2）的关键是求出几何体（棱锥）的高．