【题目】已知函数 ,其中
为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间;
(2)设,若函数
对任意
都成立,求
的最大值.
【答案】(1) 当时,增区间为
;当
时,增区间为
,减区间为
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)通过函数,得
,然后结合
与0的关系对a的正负进行讨论即可;(2)对a的正负进行讨论:当a<0时,
不可能恒成立;当a=0时,此时ab=0;当a>0时,由题结合(1)得
,设
,问题转化为求
的最大值,利用导函数即可.
试题解析::(1)由函数,可知
,
时,
,函数
在R上单调递增;
当时,令
,得
,
故当时,
,此时
单调递减;
当时,
,此时
单调递增.
综上所述,当时,函数
在单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
(2)由(1)知,当时,函数
在R上单调递增且当
时,
不可能恒成立;
当a=0时,此时ab=0;
当a>0时,由函数对任意x∈R都成立,可得
,
∵,
设,则
,
由于,令
,得
时,
单调递增;
时,
单调递减.
,即当
时,ab的最大值为
.
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【题目】已知坐标平面上动点与两个定点
,
,且
.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为,过点
的直线
被
所截得的线段长度为8,求直线
的方程.
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【题目】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量
(单位:枝,
)的函数解析式.
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花, 表示当天的利润(单位:元),求
的分布列及数学期望;
(2)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,以利润角度看,你认为应购进16枝好还是17枝好?请说明理由.
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【题目】如图,在几何体中,四边形
为矩形,四边形
为梯形,
,平面
与平面
垂直,且
.
(1)求证: 平面
;
(2)若,且平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
,求
的长.
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【题目】无穷数列满足:
为正整数,且对任意正整数
,
为前
项
,
,
,
中等于
的项的个数.
(Ⅰ)若,请写出数列
的前7项;
(Ⅱ)求证:对于任意正整数,必存在
,使得
;
(Ⅲ)求证:“”是“存在
,当
时,恒有
成立”的充要条件。
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【题目】已知点M(﹣1,0),N(1,0),曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知m≠0,设直线:x﹣my﹣1=0交曲线E于A,C两点,直线
:mx+y﹣m=0交曲线E于B,D两点,若CD的斜率为﹣1时,求直线CD的方程.
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