Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，过点M（-1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点．
（1）若直线l的斜率为1，且

PM

=-

3

5

QM

，求椭圆的标准方程；
（2）若（1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，

AP

•

AQ

取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）因为椭圆的离心率为

3

2

，所以

c

a

=

3

2

，所以可找到a，b之间的关系，设出椭圆方程，再因为过点M（-1，0），斜率为1的直线l方程为y=x+1，代入椭圆方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，求出两根之和与两根之积，再根据

PM

=-

3

5

QM

找P，Q纵坐标关系，化简，即可求出椭圆中a，b的值，进而求出椭圆方程．
（2）先设出直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用根与系数关系，求出P，Q纵点坐标之和与之积，计算

AP

•

AQ

，用P，Q纵点坐标表示，转化为纵点坐标之和与之积，再用前面求出的带斜率k的式子表示，再用求最值的方法求出k为何值时，

AP

•

AQ

有最大值．

解答：解：（1）e=

3

2

⇒

c2

a2

=

3

4

⇒a2=4b2，故椭圆方程为x²+4y²=4b²，
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），由

PM

=-

3

5

QM

得y1=-

3

5

y2，
由

y=x+1 x2+4y2=4b2

消去x得5y2-2y+1-4b2=0，∴y₁+y₂=

2

5

，y1y2=

1-4b2

5

，
由此得b²=1，a²=4，椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆方程得：x²+4k²（x+1）²=4⇒（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0⇒

x1+x2=- 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2

，所以

AP

•

AQ

=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（1+k²）x₁x₂+（k²-2）（x₁+x₂）+4+k²=

33k2

1+4k2

=

33

1 k2 +4

＜

33

4

，
当直线l的斜率不存在即α=90°时，

AP

•

AQ

=

33

4

，
因此当α=90°时，

AP

•

AQ

取得最大值，最大值为

33

4

点评：本题考查了利用直线与椭圆关系求椭圆方程，以及椭圆与向量关系，计算量较大，做题时应认真计算．