Question

11．如图所示，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁、CC₁的中点，AB=AD=1，AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）求证：平面B₁C₁E⊥平面ACD₁；
（2）证明平面B₁C₁E∥平面ADF，并求两个平面间的距离．

Answer 1

分析 （1）以A点为坐标原点，建立空间坐标系，求出平面B₁C₁E和平面ACD₁的法向量，根据法向量垂直，可得平面B₁C₁E⊥平面ACD₁；
（2）求出平面平面ADF的法向量，根据两个法向量平行，可得平面B₁C₁E∥平面ADF，代入点到直线距离公式，可得答案．

解答 证明：（1）以A点为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，

∵AB=AD=1，AA₁=$\sqrt{2}$．
∴B₁（1，0，$\sqrt{2}$），C₁（1，1，$\sqrt{2}$），E（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（1，1，0），D₁（0，1，$\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{E}_{\;}}$=（-1，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{AD}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
设平面B₁C₁E的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}⊥\overrightarrow{m}\\ \overrightarrow{{B}_{1}{E}_{\;}}⊥\overrightarrow{m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{{B}_{1}{E}_{\;}}•\overrightarrow{m}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\-x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，0，-$\sqrt{2}$），
设平面ACD₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{n}\\ \overrightarrow{{AD}_{1}}⊥\overrightarrow{n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{{AD}_{1}}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，1），
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=0，
∴平面B₁C₁E⊥平面ACD₁；
（2）∵D（0，1，0），F（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
设平面ADF的一个法向量$\overrightarrow{h}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{h}\\ \overrightarrow{{AD}_{\;}}⊥\overrightarrow{h}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{h}=0\\ \overrightarrow{{AD}_{\;}}•\overrightarrow{h}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0\end{array}\right.$
令x=1，则$\overrightarrow{h}$=（1，0，-$\sqrt{2}$），
由$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{h}$，
∴平面B₁C₁E∥平面ADF，
又∵$\overrightarrow{AE}$=（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴两个平面间的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}|}{\left|\overrightarrow{AE}\right|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$

点评 本题考查的知识点是平面垂直的判定与平面平行的判断，平面距离的运算，建立空间坐标系，将空间线面关系，转化为空间向量关系，是解答的关键．