Question

（2013•顺义区一模）已知函数f（x）=cos（2ωx-

π

6

）-cos（2ωx+

π

6

）+1-2sin²ωx，（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为

2

sin(2ωx+

π

4

)，由此根据函数的周期求得ω的值．
（II）由（I）可知，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，再根据-

π

4

≤x≤

π

3

，求得函数的最值．

解答：解：（I）f(x)=cos2ωx•cos

π

6

+sin2ωx•sin

π

6

-cos2ωx•cos

π

6

+sin2ωx•sin

π

6

+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ω x=

2

sin(2ωx+

π

4

)．…（5分）
因为f（x）是最小正周期为π，所以

2π

2ω

=π，因此ω=1．…（7分）
（II）由（I）可知，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
因为-

π

4

≤x≤

π

3

，所以-

π

4

≤2x+

π

4

≤

11π

12

．…（9分）
于是当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）取得最大值

2

；…（11分）
当2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

时，f（x）取得最小值-1．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，三角函数的周期性和求法，属于中档题．