Question

5．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．
（Ⅰ）求证：IH∥BC；
（Ⅱ）求二面角A-GI-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出ED∥BC，从而ED∥平面BCH，进而ED∥HI，由此能证明IH∥BC．
（Ⅱ） 以D为原点为，DE为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-GI-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC，
因为BC?平面BCH，ED?平面BCH，
所以ED∥平面BCH，
因为ED?平面BCH，ED?平面AED，平面BCH∩平面AED=HI，
所以ED∥HI，
又因为ED∥BC，所以IH∥BC．
解：（Ⅱ） 如图，以D为原点为，DE为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得D（0，0，0），E（2，0，0），A（0，0，2），F（3，1，0），C（0，2，0），H（0，0，1），
$\overrightarrow{EA}=（-2，0，2）$，$\overrightarrow{EF}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{CH}=（0，-2，1）$，$\overrightarrow{HI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=（1，0，0）$，
设平面AGI的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{n_1}=0\\ \overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n_1}=0\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}-\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{z_1}=0\\ \overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{y_1}=0\end{array}\right.$，令$\overrightarrow{z_1}=1$，解得$\overrightarrow{x_1}=1$，$\overrightarrow{y_1}=-1$，则$\overrightarrow{n_1}=（1，-1，1）$设，
平面CHI的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CH}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{HI}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}-2\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{z_2}=0\\ \overrightarrow{x_2}=0\end{array}\right.$，令$\overrightarrow{z_2}=-2$，解得$\overrightarrow{y_1}=-1$，则$\overrightarrow{n_2}=（0，-1，-2）$，
$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{|{1-2}|}}{{\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，
所以二面角A-GI-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

点评 本题考查直线与直线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．