某厂家拟举行大型的促销活动.经测算某产品当促销费用为x万元时.销售量t万件满足t=5-$\frac{9}{2(x+1)}$(其中0≤x≤a2-3a+4.a为正常数).现假定生产量与销售量相等.已知生产该产品t万件还需投入成本万元.产品的销售价格定为万元/万件．(Ⅰ)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数,(Ⅱ)促销费用投入多少万元时.厂� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a²-3a+4，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（t+$\frac{20}{t}$）万元/万件．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

分析（Ⅰ）确定该产品售价为（t+$\frac{20}{t}$）万元，y=t×（$4+\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x，销售量t万件满足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大．

解答解：（Ⅰ）由题意知，利润y=t×（$4+\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x
由销售量t万件满足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a²-3a+4，a为正常数），
代入化简可得：y=20-（$\frac{9}{x+1}$+x），（0≤x≤a²-3a+4）
（Ⅱ）y=21-（$\frac{9}{x+1}$+x+1）≤21-2$\sqrt{\frac{9}{x+1}×（x+1）}$=15，
当且仅 $\frac{9}{x+1}$=x+1，即x=2时，上式取等号．
当2≤a²-3a+4，即a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当a²-3a+4＜2，即1＜a＜2时，y=$\frac{-（x-2）（x+4）}{（x+1）^{2}}$＞0，
故y在0≤x≤a²-3a+4上单调递增，
所以在0≤x≤a²-3a+4时，函数有最大值．促销费用投入x=a²-3a+4万元时，厂家的利润最大．
综上述，当a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当1＜a＜2时，促销费用投入x=a²-3a+4万元时，厂家的利润最大．

点评本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．

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10．

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（Ⅱ）若 P为椭圆M上任意一点，O为坐标原点，Q为线段OP的中点，求点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）已知N（1，0），若过点 N的直线l交点Q的轨迹于E，F两点，且$-\frac{18}{7}≤\overrightarrow{{N}{E}}•\overrightarrow{{N}F}≤-\frac{12}{5}$，求直线l的斜率的取值范围．

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