Question

在数列{a_n}中，a_n＋1＋a_n＝2n－44(n∈N^*)，a₁＝－23.
(1)求a_n；
(2)设S_n为{a_n}的前n项和，求S_n的最小值．

Answer 1

（1）
（2）－243

解：(1)∵a_n＋1＋a_n＝2n－44，a_n＋2＋a_n＋1＝2(n＋1)－44，
∴a_n＋2－a_n＝2.
∴a₂＋a₁＝－42，a₁＝－23，∴a₂＝－19.
同理得a₃＝－21，a₄＝－17，
故a₁，a₃，a₅，…是以a₁为首项、2为公差的等差数列，
a₂，a₄，a₆，…是以a₂为首项、2为公差的等差数列，
从而.
(2)当n为偶数时，S_n＝(a₁＋a₂)＋(a₃＋a₄)＋…＋(a_n－1＋a_n)＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋(2×5－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－·44＝－22n，
故当n＝22时，S_n取得最小值－242.
当n为奇数时，S_n＝a₁＋(a₂＋a₃)＋(a₄＋a₅)＋…＋(a_n－1＋a_n)＝a₁＋(2×2－44)＋(2×4－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝a₁＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44)＝－23＋－22(n－1)＝－22n－，
故当n＝21或n＝23时，S_n取得最小值－243.
综上所述，S_n的最小值为－243.