Question

（本小题满分12分）在等比数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求

Answer 1

解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意∴a_n＝2·2^n－1＝2ⁿ．                                        …4分
（Ⅱ）S_n＝＝2(2ⁿ－1)，                                     …6分
所以
S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ)－(1＋2＋…＋n)]，
设T_n＝2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ，                                     ①
则2T_n＝2²＋2·2³＋…＋n·2^n＋1，                              ②
①－②，得
－T_n＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝－n·2^n＋1＝(1－n)2^n＋1－2，
∴T_n＝(n－1)2^n＋1＋2，                                               …9分
∴S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(n－1)2^n＋1＋2]－n(n＋1)
＝(n－1)2^n＋2＋4－n(n＋1)．                                …12分

本题考查等比数列的通项公式和数列求和问题。考查学生的计算能力和分析问题的能力，第一问利用基本量思想解决，第二问主抓数列的通项公式采用分组求和的方法求解.