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(任选一题)
①在数列{an}中,已知a1=1,an+1=
an
1+2an
(n∈N+)

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式;
(2)用适当的方法证明你的猜想.
②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)
对一切正整数n都成立?
并证明你的结论.
①(1)∵a1=1,an+1=
an
1+2an
(n∈N+)

a2=
1
1+2×1
=
1
3

a3=
1
3
1+2×
1
3
=
1
5

a4=
1
5
1+2×
1
5
=
1
7

∴猜想数列{an}的通项公式an=
1
2n-1

(2)用数学归纳法证明an=
1
2n-1

当n=1时,a1=
1
2×1-1
=
1
2
,成立.
假设当n=k时,an=
1
2n-1
成立,即ak=
1
2k-1

则当n=k+1时,ak+1=
ak
1+2ak
=
1
2k-1
1+2×
1
2k-1

=
1
2k-1+2
=
1
2k+1
=
1
2(k+1)-1
,也成立.
故an=
1
2n-1

②证明:假设存在符合题意的常数a,b,c,
在等式1•22+2•32++n(n+1)2
=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)中,
令n=1,得4=
1
6
(a+b+c)①
令n=2,得22=
1
2
(4a+2b+c)②
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,对于n=1,2,3都有
1•22+2•32++n(n+1)2=
n(n+1)
12
(3n2+11n+10)(*)成立.
下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.
(1)当n=1时,由上述知,(*)成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立,
即1•22+2•32++k(k+1)2
=
k(k+1)
12
•(3k2+11k+10),
那么当n=k+1时,
1•22+2•32++k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=
k(k+1)
12
(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=
(k+1)(k+2)
12
(3k2+5k+12k+24)
=
(k+1)(k+2)
12
[3(k+1)2+11(k+1)+10],
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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①在数列{an}中,已知a1=1,an+1=
an
1+2an
(n∈N+)

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式;
(2)用适当的方法证明你的猜想.
②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)
对一切正整数n都成立?
并证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(考生注意:本题请从以下甲乙两题中任选一题作答,若两题都答只以甲题计分)
甲:设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-Sn;数列{an} 为等差数列,且a5=9,a7=13.
(Ⅰ)求数列 {bn} 的通项公式;
(Ⅱ)若cn=anbn(n=1,2,3,…),Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn
乙:定义在[-1,1]上的奇函数f(x),已知当x∈[-1,0]时,f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)是[0,1]上的增函数,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2012届山东省潍坊市四县一校高三教学质量监测理科数学 题型:解答题

(本小题满分12分)(考生注意:本题请从以下甲乙两题中任选一题作答,若两题都答   只以甲题计分)
甲:设数列的前项和为,且;数列 为等差数列,且
(Ⅰ)求数列  的通项公式
(Ⅱ)若为数列的前项和,求
乙:定义在[-1,1]上的奇函数,已知当时,
(Ⅰ)求在[0,1]上的最大值
(Ⅱ)若是[0,1]上的增函数,求实数的取值范围

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省潍坊市四县一校高三教学质量监测理科数学 题型:解答题

(本小题满分12分)(考生注意:本题请从以下甲乙两题中任选一题作答,若两题都答    只以甲题计分)

  甲:设数列的前项和为,且;数列 为等差数列,且

(Ⅰ)求数列  的通项公式

(Ⅱ)若为数列的前项和,求

乙:定义在[-1,1]上的奇函数,已知当时,

(Ⅰ)求在[0,1]上的最大值

(Ⅱ)若是[0,1]上的增函数,求实数的取值范围

 

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