Question

一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分．
（Ⅰ）求拿4次至少得2分的概率；
（Ⅱ）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验的概率公式做出结果，再把两部分相加得到结果．
（II）看出变量的可能的取值，结合变量对应的事件，做出变量对应的概率和分布列，再做出变量对应的期望值．

解答：解：（Ⅰ）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则P(A)=

1

3

，P(

.

A

)=

2

3

，
由题意可得：拿4次至少得（2分）包括（2分）和（4分）两种情况．
所以P1=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，P2=(

1

3

)4=

1

81

，
∴P=P1+P2=

1

9

．（6分）
所以拿4次至少得2分的概率为

1

9

．
（Ⅱ）由题意可得：ξ可能取的值为-4，-2，0，2，4，
则P(ξ=-4)=(

2

3

)4=

16

81

；
P(ξ=-2)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

；
P(ξ=0)=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

；
P(ξ=2)=

8

81

；P(ξ=4)=

1

81

；         （9分）
∴离散型随机变量ξ的分布列为：

ξ	-4	-2	0	2	4
p	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

所以Eξ=-4×

16

81

+(-2)×

32

81

+0×

24

81

+2×

8

81

+4×

1

81

=-

4

3

（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用独立重复试验的概率公式做出概率的值，本题是一个中档题目．