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3.证明:f(x)=(12x2+x)lnx-13x3-14x2在(0,+∞)是减函数.

分析 先求出函数f(x)的导数,通过讨论函数的单调性得到f′(x)≤0,从而证出结论.

解答 证明:f′(x)=(x+1)lnx-x2+1=(x+1)[lnx-x+1],
令g(x)=lnx-x+1,则g′(x)=1x-1=1xx
令g′(x)>0,解得:0<x<1,令g′(x)<0,解得:x>1,
∴g(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
∴g(x)max=g(1)=ln1-1+1=0,
∴f′(x)≤0,
∴f(x)在(0,+∞)是减函数.

点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道基础题.

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