Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求过点A（2，2）的切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c，

依题意 ，

又f'（0）=﹣3即c=﹣3

∴a=1，b=0，

∴f（x）=x3﹣3x

（2）解：设切点为（x0，x03﹣3x0），

∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，

∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），

又切线过点A（2，2），

∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），

∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0，

解得x0=﹣1或2，

可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，

即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），

即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0

【解析】（1）由函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3，求导，可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=﹣3，解方程组即可求得，a，b，c的值，从而求得f（x）的解析式；（2）设切点，求切线方程，得到2=﹣2x03+6x02﹣6，解方程可得x0 ， 运用点斜式方程，进而得到所求切线的方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．