Question

【题目】为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”．

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析；期望为50；（2）应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个

【解析】

（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为,分别求出对应概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望为60元，讨论两种方案：若选择“”的面值设计，只有“”的面值组合符合期望为60元，求出方差；当球标有的面值为元和元时，面值设计是“”符合期望为60元，求出方差，比较两种情况的方差，即可得出结论.

解：（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为.

，，

所以的分布列如下：

所以顾客所获的奖励额的期望为

（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元.

所以可先寻找使期望为60元的可能方案：

当球标有的面值为元和元时，

若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；

若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最小值，所以期望不可能为.

因此可能的面值设计是选择“”，

设此方案中顾客所获得奖励额为，则的可能取值为.

.

的分布列如下：

所以的期望为

的方差为

当球标有的面值为元和元时，同理可排除“”、“ ”的面值设计，

所以可能的面值设计是选择“”，

设此方案中顾客所获的奖励额为，则的可能取值为.

.

的分布列如下：

所以的期望为

的方差为

因为

即两种方案奖励额的期望都符合要求，

但面值设计方案“”的奖励额的方差要比面值设计方案“”的方差小，

所以应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个.