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    O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线三点，平面α内的动点P满足
    OP
    =
    OA
    +λ(
    AB
    +
    AC
    )    ，若λ=
    1
    2
    时，
    PA
    •(
    PB
    +
    PC
    )    的值为
     
    ．
    分析：把已知的等式进行等价变形得 
    BP
    =
    PC
    ，故有
    PC
    +
    PB
    =
    0
    ，代入所求的式子进行化简．
    解答：解：∵动点P满足
    OP
    =
    OA
    +λ(
    AB
    +
    AC
    )    ，∴
    AP
    =λ （
    AB
    +
    AC
    ）=
    1
    2
    （
    AB
    +
    AC
    ），
    ∴2
    AP
    =
    AB
    +
    AC
    ，
    AP
    -
    AB
    =
    AC
    -
    AP
    ，
    BP
    =
    PC
    ，
    ∴
    PC
    +
    PB
    =
    0
    ，∴
    PA
    •(
    PB
    +
    PC
    )    =
    PA
    •
    0
    =0，
    故答案为：0．
    点评：本题考查向量的加减运算，两个向量的数量积，体现了等价转化的数学思想．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O-ABCV的体积用VO-ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则|
    OB
    |•
    OA
    +|
    OA
    |•
    OB
    =
    0
    ．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC•
    OA
    +S△OCA•
    OB
    +S△OBA•
    OC
    =
    0
    ．将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A-BCD内一点，则有
    VO-BCD•
    OA
    +VO-ACD•
    OB
    +VO-ABD•
    OC
    +VO-ABC•
    OD
    =
    0
    VO-BCD•
    OA
    +VO-ACD•
    OB
    +VO-ABD•
    OC
    +VO-ABC•
    OD
    =
    0
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题：
    ①若
    a
    与
    b
    共线，则存在唯一的实数λ，使
    b
    =λ
    a
    ；
    ②空间中，向量
    a
    、
    b
    、
    c
    共面，则它们所在直线也共面；
    ③P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC垂心．
    ④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．
    OM
    =
    1
    3
    OA
    +
    1
    3
    OB
    +
    1
    3
    OC
    ，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
    上述命题中正确的命题是
    ③④
    ③④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题：
    ①若向量
    a
    与向量
    b
    共线，向量
    b
    与向量
    c
    共线，则向量
    a
    与向量
    c
    共线；
    ②若向量
    a
    与向量
    b
    共线，则存在唯一实数λ，使
    b
    =λ
    a
    ；
    ③若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，且
    OM
    =
    1
    3
    OA
    +
    1
    3
    OB
    +
    1
    3
    OC
    ，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部．
    上述命题中的真命题个数为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，O是平面ABC上的一点，动点P满足
    OP
    =
    OA
    +λ(
    OB
    +
    OC
    )    ，λ∈R，则点P的轨迹过△ABC的（　　）

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    科目：高中数学 来源：2013届云南省高二下学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：填空题

    设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有___________________________

     

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