Question

如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.

(1)求证:PB∥平面EFG;

(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;

(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为,若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解法一:(1)证明:取AB为中点H,连结GH,HE,

∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点,

∴GH∥AD∥EF.

∴E,F,G,H四点共面.

又H为AB中点,∴EH∥PB.

又EH面EFG,PB平面EFG,

∴PB∥面EFG.

(2)取BC的中点M,连结GM、AM、EM,则GM∥BD,

∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角.

在Rt△MAE中,EM==,

同理EG=6,又GM=BD=,

∴在Rt△MGE中,cos∠EGM=.

故异面直线EG与BD所成角的余弦值为.

(3)假设在线段CD上存在一点Q,满足题设条件,过点Q作OR⊥AB于点R,连结RE,则QR∥AD.

∵四边形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,

∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,

∴AD⊥平面PAB.

又∵E,F分别是PA,PD的中点,

∴EF∥AD.∴EF⊥平面PAB.

又EF面EFQ,∴EFQ⊥平面PAB.

过A作AT⊥ER于点T,则AT⊥面EFQ,

∴AT就是点A到平面EFQ的距离.

设CQ=x(0≤x≤2),则BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,

在Rt△EAR中,AT==,

解得x=.

故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).

(1)证明:∵=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),

设=s+t,

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),解得s=t=2.

∴=2+2.

又∵与不共线,

∴,与共面.

∵平面EFG,∴PB∥平面EFG.

(2)∵=(1,2,-1),=(-2,2,0),

∴cos〈,〉=.

故平面直线EG与BD所成角的余弦值为.

(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.

令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m.∴点Q的坐标为(2-m,2,0).

∴(2-m,2,-1).而=(0,1,0),

设平面EFQ的法向量为n(x,y,z),则

∴令x=1,则n=(1,0,2-m).

又=(0,0,1),

∴点A到平面EFQ的距离d==,

即(2-m)²=.

∴m=或m=＞2不合题意,舍去.

故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.