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12.在直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$-2=0相切.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2$\sqrt{3}$,求直线MN的方程.

分析 (Ⅰ)利用圆心到直线的距离d=r,求出半径,即可求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则设方程为2x-y+c=0,利用|MN|=2$\sqrt{3}$,可得圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1,即可求直线MN的方程.

解答 解:(Ⅰ)圆C:x2+y2+4x-2y+m=0,可化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,
∵圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$-2=0相切,
∴圆心到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{1+3}}$=2=r,
∴圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4;
(Ⅱ)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则设方程为2x-y+c=0,
∵|MN|=2$\sqrt{3}$,
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1,
∴$\frac{|-4-1+c|}{\sqrt{5}}$=1,
∴c=5±$\sqrt{5}$,
∴直线MN的方程为2x-y+5±$\sqrt{5}$=0.

点评 本题考查直线与圆的方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

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