Question

如图，已知过点D（-2，0）的直线l与椭圆

x2

2

+y²=1交于不同的两点A、B，点M是弦AB的中点
（Ⅰ）若

OP

=

OA

+

OB

，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求|

MD

MA

|的取值范围

Answer 1

分析：（Ⅰ）当直线与x轴平行时，求得点P的坐标；设出直线l的方程及A，B，M，P的坐标，椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据韦达定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，进而联立消去m，即可求得P点的轨迹方程．
（Ⅱ）先看当l∥x轴时，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，求得|MD|，|MA|进而求得|

MD

MA

|的值；再看与x轴不平行时，根据弦长公式求得|MD|和|MA|的表达式，进而求得|

MD

MA

|的表达式，根据m的范围确定|

MD

MA

|的取值范围，最后综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）①若直线l∥x轴，则点P为（0，0）；
②设直线l：x=my-2，
并设点A，B，M，P的坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），P（x，y），
由

x=my-2 x2+2y2=2

消去x，得（m²+2）y²-4my+2=0，①
由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，即8（m²-2）＞0，所以m²＞2
由

OP

=

OA

+

OB

及方程①，得y=y₁+y₂=

4m

m2+2

，
x=x₁+x₂=（my₁-2）+（my₂-2）=-

8

m2+2

，
即

x=- 8 m22 y= 4m m2+2

由于m≠0（否则，直线l与椭圆无公共点），
将上方程组两式相除得，m=-

2y

x

，代入到方程x=-

8

m2+2

，
得x=-

8

(- 2y x )2+2

，整理，得x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）
综上所述，点P的轨迹方程为x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）

（Ⅱ）①当l∥x轴时，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，
所以，|MD|=2，|MA|=

2

，所以，

|MD|

|MA|

=

2

②由方程①，得y₀=

y1+y2

2

=

2m

m2+2

，
|MD|=

1+m2

|y₀-y_D|=

1+m2

2|m|

m2+2

|MA|=|=

1+m2

|y₀-y₁|=

1+m2

|y1-y2|

2

=|=

1+m2

2 m2-2

m2+2

|MD|

|MA|

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

m²＞2，-

2

m2

∈（1，0），

1- 2 m2

∈（0，1），

|MD|

|MA|

∈[

2

，+∞）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点问题．常需要把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理找打解决问题的突破扣．