Question

【题目】已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.

（1），所以，

由得时，，

两式相减得，，，

数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.

（2）若数列是常数列，

为常数.

只有，解得，

此时.

（3）①

，，其中，所以，

当时，②

②式两边同时乘以得，③

①式减去③得，，所以，

因为，

所以数列是以为首项，公差为的等差数列.